高考样卷数学理科一(福建省近几年高考卷)
2010年福建省考试说明样卷
(理科数学)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第21(1)、(2)、(3)题为选考题,请考生根据要求选答;其它题为必考题.本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.
1.复数 等于
A. B. C.-1+i D.-1-i
2.已知全集U=R,集合 ,则 等于
A. B.
C. D.
3.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
A. B.
C. D.
4.下列函数 中,满足“对任意 , (0, ),当 < 时,都有 > ”的是
A. = B. =
C. = D.
5.右图是计算函数 的值的程序框图,在①、②、③处应分别填入的是
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
6.设 , 是平面 内的两条不同直线, , 是平面 内的两条相交直线,则 的一个充分而不必要条件是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
7.已知等比数列 中, ,则其前3项的和 的取值范围是
A. B.
C. D.
8.已知 是实数,则函数 的图象不可能是
9.已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ,则实数 等于
A.7 B.5 C.4 D.3
10.定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系;在平面斜坐标系 中,若 (其中 、 分别是斜坐标系 轴、 轴正方向上的单位向量, , R, 为坐标系原点),则有序数对 称为点 的斜坐标.在平面斜坐标系 中,若 =120°,点 的斜坐标为(1,2),则以点 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系 中的方程是
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.
11.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点.已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是_______.
12.若 ,则a1+a2+a3+a4+a5=____.
13.由直线 ,x=2,曲线 及x轴所围图形的面积为 .
14.一人上班有甲、乙两条路可供选择,早上定时从家里出发,走甲路线有 的概率会迟到,走乙路线有 的概率会迟到;无论走哪一条路线,只要不迟到,下次就走同一条路线,否则就换另一条路线;假设他第一天走甲路线,则第三天也走甲路线的概率为 .
15.已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上,抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1,C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上,也不在抛物线C2上.小明的记录如下:
x
0 2
3
y 2 0
据此,可推断椭圆C1的方程为 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置.
16.(本小题满分13分)
的三个内角 所对的边分别为 ,向量 =( , ), ,且 ⊥ .
(Ⅰ)求 的大小;
(Ⅱ)现给出下列四个条件:
① ;② ;③ ;④ .
试从中再选择两个条件以确定 ,求出你所确定的 的面积.
(注:只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分)
17.(本小题满分13分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加某数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由;
(Ⅲ)若将频率视为概率,对甲同学在今后的3次数学竞赛考试进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为 ,求 的分布列及数学期望E .
18.(本小题满分13分)四棱锥P-ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.
(Ⅰ)写出四棱锥P-ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明);
(Ⅱ)在四棱锥P-ABCD中,若 为 的中点,求证: ‖平面PCD;
(Ⅲ)在四棱锥P-ABCD中,设面PAB与面PCD所成的角为 ,求 值.
19.(本小题满分13分) 以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P( ,1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)略.
20.(本小题满分14分)已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的极值;(Ⅱ)略.
21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换(略).
(2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,设圆 上的点到直线 的距离为 ,求 的最大值.
(3)(本小题满分7分) 选修4—5:不等式选讲
已知 的最小值.
样卷参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.
1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分.
11.9. 12.31. 13.2 . 14. .15. .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解:(I)∵ ⊥ ,∴-cosBcosC+sinBsinC- =0,
即cosBcosC-sinBsinC=- ,∴cos(B+C)=- .∵A+B+C=180°,∴cos(B+C)=-cosA,
∴cosA= ,A=30°.
(Ⅱ)方案一:选择①③,可确定△ABC.∵A=30°,a=1,2c-( +1)b=0.
由余弦定理 ,整理得 =2,b= ,c= .
∴ .
方案二:选择①④,可确定△ABC.∵A=30°,a=1,B=45°,∴C=105°.
又sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°= .
由正弦定理得c= .∴ .
(注:若选择②③,可转化为选择①③解决;若选择②④,可转化为选择①④解决,此略.选择①②或选择③④不能确定三角形)
17. 解:(I)作出茎叶图如下:
(Ⅱ)派甲参赛比较合适,理由如下:
,
,
甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.
注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如派乙参赛比较合适,理由如下:从统计的角度看,甲获得85以上(含85分)的概率 ,乙获得85分以上(含85分)的概率 . , 派乙参赛比较合适.
(Ⅲ)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A, 则 .
随机变量 的可能取值为0,1,2,3,且 服从 ,
所以变量 的分布列为 .
.(或 )
18.解法一:
(Ⅰ)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD.
(Ⅱ)依题意AB,AD,AP两两垂直,分别以直线AB,AD,AP为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图.则 , , , .
∵E是PA中点,∴点E的坐标为 ,
, , .
设 是平面PCD的法向量.由 ,即
取 ,得 为平面PCD的一个法向量.
∵ ,∴ ,
∴ ‖平面PCD.又BE 平面PCD,∴BE‖平面PCD.
(Ⅲ)由(Ⅱ),平面PCD的一个法向量为 ,
又∵AD⊥平面PAB,∴平面PAB的一个法向量为 ,
∴ .
19.解: (Ⅰ)设椭圆方程为 (a>b>0),由已知c=1,
又2a= ,所以a= ,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程是x2+ =1.
20.解:(Ⅰ) .
当 , ,函数 在 内是增函数,∴函数 没有极值.
当 时,令 ,得 .
当 变化时, 与 变化情况如下表:
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
∴当 时, 取得极大值 .
综上,当 时, 没有极值;
当 时, 的极大值为 ,没有极小值.
21. (2)解:将极坐标方程 转化为普通方程:
可化为
在 上任取一点A ,则点A到直线的距离为
,它的最大值为4